Álgebra y Combinatoria (ALCOM)

El grupo de investigación Álgebra y Combinatoria (ALCOM) tiene como objetivo hacer investigación alrededor de los temas relacionados con las áreas del Álgebra, la Combinatoria y la Matemática computacional. Este grupo de investigación está conformado por: Adriana A. Albarracín Mantilla, Alexander Holguín-Villa, Wilson Olaya León, Ronald E. Paternina Salguedo, Hector E. Pinedo Tapia, Carlos W. Rodríguez Cárdenas, Carlos A. Rodriguez Palma,  Sonia M. Sabogal Pedraza, Arnoldo Teherán Herrera.

 

 

Seminario de Álgebra Grupo ALCOM

 

Lugar: SALA Carlos Lezama - LL 301          Hora: 2:00 p.m          Fecha: 26 de Abril de 2016

 

Título: Acciones parciales en el Semigrupo de Picard
Est. Sebastián Báez A.

 

Resumen: Sea R un anillo conmutativo y G un grupo. Se introducirá la noción de acción parcial de G en R y cuando esta última sea unitaria, se construirá una acción parcial de G en PicS(R),  donde                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        PicS(R)={[E]: E es un R-mod pfg y rk(P)\leq 1}, donde [E] = {Q : Q \sim E como R-módulos},

es el Semigrupo de Picard de R.

 

 

Resumen
 

 

 

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Lugar: SALA Carlos Lezama - LL 301          Hora: 2:00 p.m          Fecha: 19 de Abril de 2016

 

Título: El Semigrupo de Picard de un anillo conmutativo
Est. Sebastián Báez A.

 

Resumen: Sea R un anillo conmutativo y P un R-módulo proyectivo finitamente generado, f.g, si para todo p en Spec (R) se tiene Pp = 0 o Pp \sim Rp como Rp-mod, decimos que el rango de P es menor o ogual a 1 y lo denomos por rk(P)\leq 1.

Definimos                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       PicS(R)={[E]: E es un R-mod pfg y rk(P)\leq 1}, donde [E] = {Q : Q \sim E como R-módulos},

conocido como el Semigrupo de Picard, donde su producto está defi nido de la misma forma que en el grupo de Picard Pic(R), i.e., [P]  [Q] = [P\otimes _{R} Q]. Veremos que PicS(R) es un monoide conmutativo inverso con 0 y mostraremos algunos resultados asociados con él, además de algunos ejemplos explícitos.
 

 

Resumen

 

 

 

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Lugar: SALA Carlos Lezama - LL 301          Hora: 2:00 p.m          Fecha: 12 de Abril de 2016

 

Título: El Grupo de Picard de un anillo conmutativo
Est. Sebastián Báez A.

 

Resumen: El Grupo de Picard de R, denotado por Pic(R) es el conjunto de las clases de isomor smos de R-módulos proyectivos fi nitamente generados de rango 1 y producto:
                                                                                                                                                                          [P]  [Q] = [P\otimes _{R} Q].

A partir de esta de nifición, mostraremos algunos resultados obtenidos que son vitales en nuestra tesis de maestría, así como se darán algunos ejemplos importantes donde se evidencia la difi cultad que hay para calcular el grupo de Picard Pic(R).

 

Resumen

 

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Lugar: SALA Carlos Lezama - LL 301          Hora: 2:00 p.m          Fecha: 15 de Marzo de 2016

 

Título: Dominios de Ideales Principales Vs Dominios de Factorización Única
& Dominios de Bezout
Est. Astrid Cepeda

 

Resumen: En un segundo curso de Álgebra Moderna es demostrado que todo Dominio de Ideales Principales, DIP, es Dominio de Factorizacion Única, DFU. En este Seminario veremos bajo que condiciones un DFU es un DIP, resaltando ejemplos y contra-ejemplos de cada concepto tomado en consideración.

Estableceremos la siguiente caracterizacion: R es un DIP si y solo si R es un DFU y además es un dominio de Bezout.

 

Resumen

 

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Lugar: SALA Carlos Lezama - LL 301          Hora: 2:00 p.m          Fecha: 23 de Febrero y 1 de Marzo de 2016

 

Título: Anillos Clean
Est. Jorge A. Rojas Gómez

 

Resumen: Un anillo asociativo con identidad es llamado Clean si todo elemento del anillo se puede escribir como la suma de una unidad y un elemento idempotente. Estos anillos fueron introducidos por Nicholson en su estudio acerca de levantamiento de idempotentes en anillos exchange, [2]. El objetivo de esta charla, es revisar algunos resultados bien conocidos en anillos clean como un primer paso para introducir los anillos de grupo clean.

En la primera sesión presentamos la de nicion de anillo clean, acompañado de algunos ejemplos (iniciales) de esta clase de anillos. Además se establecieron algunas propiedades iniciales (básicas): Toda imagen homomorfa de un anillo clean es clean y, un producto de anillos es clean si y solo si cada anillo del producto es clean.

En la segunda sesión revisaremos el hecho que el anillo Mn(R) es clean si el anillo R es clean. Para ello probaremos algunos resultados previos inicialmente. En esta misma sesión, introduciremos la noción de levantamiento de idempotentes módulo un ideal, con el objetivo de saber cuando R/I es clean y levanta idempotentes modulo I.

 

Resumen

 

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Lugar: SALA Carlos Lezama - LL 301          Hora: 3:00 p.m          Fecha: 16 de Febrero de 2016

 

Título: Propiedad de Midy  & Primalidad
Prof. John H. Castillo
Departamento de Matemáticas y Estadística - UDENAR

 

Resumen: Se dice que un número impar N es un número de Midy para la base b, si N es primo relativo con b y con |b|N, y para todo divisor d > 1, de |b|N se tiene que d\in  Mb(N). De esta forma N es un número de Midy base b si, y solo si q\in Mb(N) para todo divisor primo q de |b|N. En esta charla presentaremos algunas de las conexiones existentes entre los números de Midy y la primalidad.

 

Resumen

 

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Lugar: SALA Carlos Lezama - LL 301          Hora: 2:00 p.m          Fecha: 16 de Febrero de 2016

 

Título: Teoría de Códigos  & Álgebras de Grupo
Est. Gerson L. Barajas A.

Resumen: Consideramos F un cuerpo finito con |F| = q y G un grupo abeliano finito tal que (q; |G|) = 1, para determinar el número de componentes simples de FG y así, calcular los idempotentes
generadores de los códigos abelianos minimales obtenidos por Ferraz & Polcino Milies, Idempotents in group algebras and minimal abelian codes, Finite Fields Appl. 13 (2007):382-393.

 

Resumen

 

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Lugar: SALA Carlos Lezama - LL 301          Hora: 2:00 p.m          Fecha: 2 y 9 de Febrero de 2016

 

Título: *-Identidades polinomiales & anillos de grupo
Prof. Alexander Holguín-Villa

 

Resumen: En el contexto de K-álgebras con identidades polinomiales, un resultado inicial importante es el Lema de Linealizacion de Kaplansky que establece que si R es IP de grado n, entonces R satisface un IP lineal en cada variable. Una prueba bastante transparente del anterior lema aparece en el libro The algebraic structure of group rings, [5, Lemma 5.1.1]. Inspirados por la prueba de Passman del anterior lema, establecemos una demostracion natural en el contexto de *-IP, i.e., probamos que R satisface una identidad multilineal homogenea de una forma particular. Usamos IP teoría y *-IP teora para obtener resultados en el contexto de los anillos de grupo FG, vistos como anillos con involucion.

 

Resumen
 

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Lugar: SALA Carlos Lezama - LL 301          Hora: 2:00 p.m          Fecha: 24 de Noviembre de 2015

 

Título: Introducción a los números p-ádicos y análisis p-ádico
Est. Deyanira Maldonado Guerrero

 

Resumen: Como se conoce del análisis clásico es posible construir el cuerpo R que complete al cuerpo de los números racionales, usando sucesiones de Cauchy de números racionales, a partir del valor absoluto euclidiano. Sin embargo, la de nición de una sucesión de Cauchy depende de la métrica elegida, entonces si se usa un concepto distinto de distancia en Q, se obtendra otro cuerpo distinto a R, para esto se tomará una nueva noción de distancia llamada norma p-ádica para un primo p que permite construir el cuerpo de los números p-ádicos Qp como la completación de Q con dicha norma.

 

Resumen

 

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Lugar: SALA Carlos Lezama - LL 301          Hora: 2:00 p.m          Fecha: 17 de Noviembre de 2015

 

Título: Acciones Parciales: Una Introducción

Prof. Hector Pinedo T.

 

Resumen: En esta charla introduciremos los conceptos de acción y homomorfismo parciales. Veremos, en el caso de las acciones parciales, como siempre pueden obtenerse, como restricciones de acciones de grupo clásicas. En el caso de los homomorfi smos parciales entre semigrupos inversos, veremos la relación entre tales homomor smos y las acciones parciales.

Resumen

 

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Lugar: SALA Carlos Lezama - LL 301          Hora: 2:00 p.m          Fecha: 10 de Noviembre de 2015

 

Título: Sobre Cocientes de Monoide

Prof. Rafael F. Isaacs G.

 

Resumen: Se discuten los cocientes de un monoide haciendo un paralelo con los cocientes de un grupo. Se propone los grupos armonicos de un monoide como subestructura apropiada para operar entre clases laterale; como un ejemplo, se demuestra que el cociente del monoide de las endofunciones inyectivas de un conjunto en s mismo sobre el grupo de las biyecciones es isomorfo al monoide de los cardinales menores o iguales que el cardinal del conjunto con la suma cardinal. Esto quiere decir que esencialmente, componer funciones inyectivas es sumar cardinales.

Resumen

 

 

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Lugar: SALA Carlos Lezama - LL 301          Hora: 2:00 p.m          Fecha: 3 de Noviembre de 2015

 

Título: El Problema de Frobenius

Est. Yerly V. Soler Porras

 

Resumen: El problema de Frobenius es simple en su enunciado pero complejo en su solucion. Consiste en tomar una cantidad nita de numeros enteros positivos que sean primos relativos y encontrar el mayor entero positivo que no puede expresarse como combinacion lineal (con coe cientes enteros no negativos) de dichos numeros; el numero que se desea encontrar recibe el nombre de numero de Frobenius. Aunque el problema nunca se propuso explcitamente por escrito en algun manuscrito, se le atribuye a Ferdinand Georg Frobenius un matematico aleman nacido en 1849.

Resumen

 

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Lugar: SALA Carlos Lezama - LL 301          Hora: 2:00 p.m          Fecha: 22 de Septiembre de 2015

 

Título: Geometría Tropical: Teoremas de Bezout Tropical Vs Bezout Clásico

PhD Student Federico Castillo - https://www.math.ucdavis.edu/people/grad_wall/

 

Resumen: Geometría tropical es un área relativamente nueva que asocia complejos polihedrales a variedades algebraicas.
En esta charla vamos a presentar las construcciones básicas usando el punto de vista de campos valuados. El ejemplo mas común son las series de Puiseux k=C{{t}}.

Se define la función valuación v: k{{t}} ----> Q, por v(f) = i0/n. Dado que C es algebraicamente cerrado, k también lo es.

 

Luego para cualquier conjunto en Akn de nimos su tropicalización en Rn como el mapa que manda cada punto a sus n valuaciones coordenada a coordenada.

Aplicado a variedades algebraicas, su imagen es un complejo polihedral que preserva mucha información sobre la variedad. Estos métodos se han usado para obtener nuevos resultados, notoriamente para calcular invariantes de Gromov-Witten, y también para hallar nuevas pruebas de resultados clásicos como el Teorema de Brill-Noether.

 

Para una muestra de lo que se puede o no hacer, vamos a ver el ejemplo del Teorema de Bezout tropical y como se relaciona con el Bezout clásico.

 

Resumen

Fin Semestre Académico: Foto1  Foto2

 

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Lugar: SALA Carlos Lezama - LL 301          Hora: 2:00 p.m          Fecha: 15 de Septiembre de 2015

 

Título: El Teorema 90 de Hilbert para
acciones parciales

Prof. Hector E. Pinedo Tapia

 

Resumen: Sea E/L una extensión de Galois con grupo de Galois G = Gal(L/k).
El enunciado original del Teorema 90 de Hilbert afi rma que si G es cíclico con generador \psi ; entonces un elemento x en L tiene norma 1 exactamente cuando x =\psi(y)/y, para algún y en L
 

La version cohomológica de el Teorema 90 de Hilbert a rma que dada una extensióon fi nita de Galois de campos, entonces el primer grupo de cohomología H1(G; L*) es trivial. Una generalización de este resultado en el contexto de anillos conmutativos dice que si S/R is una extensión de Galois de anillos conmutativos con grupo de Galois G; entonces H1(G; U(R)) = 0; siempre que el grupo de Picard Pic(R) de R sea trivial.

En esta charla, el Teorema 90 de Hilbert será considerado para acciones parciales de grupos, mostraremos que si es una acción parcial de un grupo G en un anillo conmutativo S tal que S/S\alpha es una extensión de Galois parcial, entonces el grupo de cohomología parcial H1(G; \alpha ; S\alpha ) es trivial si Pic(S ) = 0.

 

Resumen

 

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Lugar: SALA Carlos Lezama - LL 301          Hora: 2:00 p.m          Fecha: 8 de Septiembre de 2015

 

Título: Teorema de Cantor-Schroeder-Bernstein

Est. Gerson Barajas Ávila

 

Resumen: En un estudio sobre la Teoría de Núumeros cardinales G. cantor llegó al siguiente resultado (que admitió no poder demostrar en general) clásico en Teoría de Conjuntos: Sean M y N dos conjuntos, tales que M es equivalente a un subconjunto de N y N es equivalente a un subconjunto de M. Entonces M y N son equivalentes.
 
Posteriormente Felix Berstein, alumno de Cantor publicó una demostración definitiva del resultado bajo el nombre de Teorema de Equivalencia. Actualmente el resultado es citado como Teorema de Cantor-Schroeder-Berstein y dice lo siguiente:
 
Teorema: (Teorema de Cantor-Schroeder-Berstein, CSB)
Dados conjunto A y B y funciones funciones f : A ----> B y g : B ----> A inyectivas, entonces existe una funcion h : A ----> B biyectiva.
 
El propósito de esta Charla será encontrar una caracterización de las categorías C que cumplen con el teorema de CSB. Es decir, dados dos elementos (objetos) C y D en una categoría C, si existen monomorfismos f : C ----> D y g : D ----> C, entonces existe un isomor smo h : C ----> D en C.
 

Resumen

 

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Lugar: SALA Carlos Lezama - LL 301          Hora: 2:00 p.m          Fecha: 1 de Septiembre de 2015

 

Título: Sobre la propiedad de Midy

Est. Juan Camilo Cala B.

 

Resumen: Sean p un número primo y e el orden de 10 modulo p, esto es, e = ordp(10). Es sabido que la fracción 1/p es periódica con periodo de longitud e. E. Midy demostró el siguiente resultado:
 
Teorema de Midy: Si para p > 5 un número primo la fracción 1/p tiene periodo de longitud par, digamos e = 2k para algún entero positivo k, entonces la suma de las mitades que conforman el periodo es una cadena de k 9's.
 
En esta charla, el interés principal es el problema general que se desprende del Teorema de Midy. Dados los enteros n y una base numérica B > 1 con n y B primos relativos, la fraccioó x/n, donde x pertenece a Un, es periódica en la escala de B con periodo de longitud e = ordn(B). Si e = dk, podemos dividir el periodo en d bloques cada uno de k dígitos.
 

Resumen

 

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Lugar: SALA Carlos Lezama - LL 301          Hora: 2:00 p.m          Fecha: 25 de Agosto de 2015

 

Título: Semigrupo de Picard

Est. Jhoan Sebastián Báez A.

 

Resumen: Sea R un anillo conmutativo y M un R-módulo proyectivo fi nitamente generado (por brevedad p.f.g). Para p en Spec(R), el producto tensorial de M y Rp (como Rmódulos) Mp
es un Rp-módulo libre, como R es conmutativo existe un único entero no negativo np tal que Mp es isomorfo a np copias de Rp como Rp-módulos.
 
Llamamos a np el p-rango de M y lo denotamos rkp (M). Además, sea n un entero no negativo, llamamos a n el rango de M y lo escribimos rk (M) = n si y solo si rkp (M) = n para todo p en Spec(R). Ahora,
si P es un R-módulo p.f.g de nimos:
 
[P]={Q: Q es  isomorofo a P como R-módulos}.
 

El Grupo de Picard de R (Pic(R); ) es el conjunto de las clases de isomor smos de R-módulos p.f.g de rango 1 y producto:      [P] . [P*] = [P tens. P*] = [R]

 

A partir de estos de niremos el Semigrupo de Picard. Para esto daremos algunas de niciones importantes y resultados entorno al trabajo con módulos proyectivos y rango de un modulo proyectivo

 

Resumen

 

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Lugar: SALA Carlos Lezama - LL 301           Hora: 2:00 p.m          Fecha: 18 de Agosto de 2015

 

Título: Sobre grupos divisibles e isomorfismos relacionados

Est. Andrés S. Cañas P.

 

Resumen: En un grupo abeliano G podemos de nir la multiplicacion por enteros. Así, nos preguntamos si es posible hacer lo mismo para la división y de esta forma surge la estructura de Grupos Divisibles.
 
Sea D un grupo abeliano. Entonces, D es llamado divisible si para todo d \in D y para todo entero positivo n existe d'\in D tal que d=nd'.
 

Esta estructura es rica en propiedades, siendo útil tanto en la teoría de grupos y la teoría de módulos, ya que un grupo es divisible si y sólo si es un Z-módulo inyectivo. Entre sus propiedades encontramos una muy importante, cada grupo divisible es sumando directo de cualquier grupo que los contiene.

 

El objetivo principal de esta presentación es demostrar que

\mathbb {C}^*, \,\,\,\,\mathbb Q/\mathbb Z \oplus \mathbb {R},\,\,\,\,\mathbb R/\mathbb Z,\,\,\,\, \prod\limits_{q}\mathbb{Z}(q^\infty)\,\,\,\,{\rm y} \,\,\,\,S^1, son isomorfos, para esto daremos definiciones básicas y demostraremos algunos de los resultados más importantes de grupos divisibles.

Resumen

Presentación

 

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Lugar: SALA Carlos Lezama - LL 301           Hora: 2:00 p.m          Fecha: 28 de Julio - 4 y 11 de Agosto de 2015

 

Título: Una introducción a códigos Algebraico Geométricos

Prof. Wilson Olaya-León

 

Resumen: Esta charla presentamos una introducción contemporánea a la teoría de códigos algebraico-geométricos. Comenzando  por los códigos de evaluación y códigos de dominio ordenado, prestando especial atención a los códigos uni-puntuales y en particular a la familia de códigos Castillo.
 
 
 

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Lugar: SALA Carlos Lezama - LL 301           Hora: 2:00 p.m          Fecha: 16 de Junio de 2015

 

Título: Sobre Curvas Maximales

Prof. Arnoldo Teherán Herrera

 

Resumen: Esta charla tiene como objetivo presentar algunas propiedades y resultados destacados sobre curvas maximales, especialmente presentaremos técnicas que han sido usadas para construir este tipo de curvas y su clasificación en la teoría.
 

Resumen

 

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Lugar: SALA Carlos Lezama - LL 301          Hora: 2:00 p.m          Fecha: 23 de Junio de 2015

 

Título: El Anillo de los Enteros Algebraicos & Dominios de Dedekind

Est. Jorge E. Gómez Ríos

 

Resumen: En esta presentación daremos las defi niciones básicas y probaremos algunos resultados de la teoría de los enteros algebraicos que nos servirán como herramienta para solucionar algunos problemas que involucran ecuaciones Diofánticas.
 

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Presentación

 

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Lugar: SALA Carlos Lezama - LL 301          Hora: 2:00 p.m          Fecha: 9 de Junio de 2015

 
 
Título: SUCESIONES IMPROPIAS

Prof. Carlos A. Rodriguez Palma
 
Resumen: En esta charla nos interesa estudiar sucesiones $A=(a_1,\ldots,a_k)$ de elementos de un grupo abeliano $G$ para las cuales existe un subconjunto $B\subset G$ de cardinalidad $k$, tal que para cualquier numeración $b_1,\ldots,b_k$ de los elementos de $B$, existen $0\leq i<j\leq k$ para los cuales $a_i+b_i=a_j+b_j$.
 
A este tipo de sucesiones las llamaremos $k$-Sucesiones Impropias, y al conjunto $B$ que las verifica lo llamamos testigo. En particular si todos los elementos de $A$ son distintos, diremos que $A$ es un $k$-conjunto impropio.

 

Clic aquí para ver el resumen.

 

 

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