IDEAS PARA RECORDAR

Símbolos de uso común.


MATH

Lógica

Observa los siguientes enunciados:

  1. Está lloviendo.

  2. Bogotá es la capital de Colombia.

  3. El sol gira alrededor de la tierra.

  4. La UIS es una de las mejores universidades del país.

  5. Entramos al siglo XXI.

  6. Hace calor.

Seguramente, a medida que los leías se producía en ti una sensación de aceptación o rechazo, ya que se puede afirmar que algunos de esos enunciados son verdaderos o falsos pero no las dos cosas a la vez.

Definición (Proposición simple )

Enunciado declarativo del cual se puede afirmar que es verdadero o que es falso pero no ambos a la vez.

Ahora pensemos que mediante los conectivos lógicos ligamos algunas proposiciones. Por ejemplo:

El libro es azul o es verde.

Está lloviendo y hace calor.

Si hace calor entonces el sol gira alrededor de la tierra.

$x+5=7$ si y sólo$x=2.$

Definición (Proposición compuesta )

Las proposiciones compuestas son aquellas que se forman por unión de proposiciones simples mediante los conectivos lógicos.

Enuncia dos ejemplos de proposiciones compuestas.

Sean las proposiciones simples:

``$p$: El tiempo es agradable'',

``$q$: Hace calor''.

Escribe las siguientes proposiciones compuestas:

$p\wedge q$: el tiempo es agradable y hace calor.

$p\vee q$:

$p\Rightarrow q$:

MATH:



VALOR DE VERDAD PARA LAS PROPOSICIONES COMPUESTAS

¿Cómo decidir el valor de verdad para las proposiciones compuestas? Pensando en ello, vamos a plantear algunos criterios los cuales posiblemente no se ajusten a todas las situaciones cotidianas.


Conjunción $(p\wedge q)$: La conjunción es verdadera solamente si ambas proposiciones son verdaderas .


MATH

Disyunción $(p\vee q):$ La disyunción es verdadera cuando ambas proposiciones o una de ellas es verdadera.


MATH




Implicación. De una verdad no se deben concluir cosas falsas, la Implicación entre dos proposiciones es falsa, únicamente cuando una proposición verdadera implica una falsa.


MATH




Doble implicación o equivalencia MATH: La equivalencia entre dos proposiciones es verdadera cuando ambas son verdaderas o ambas son falsas.


MATH




Definiciones: Recíproca y contrarecíproca.

Se dice que:

Por ejemplo, al observar una figura geométrica se pueden presentar las siguientes proposiciones simples las cuales pueden ser verdaderas o falsas:

$\bigskip $

$r$: es un cuadrado.

$s$: es un polígono de lados iguales.




De aquí se puede escribir una implicación como:

$r\Rightarrow s$: ``si es un cuadrado entonces es un polígono de lados iguales''.




La recíproca de $r\Rightarrow s$ es $s\Rightarrow r.$

$s\Rightarrow r$: ``si es un polígono de lados iguales entonces es un cuadrado''.




La contrarecíproca de $r\Rightarrow s$ es MATH

MATH: ``si no es un polígono de lados iguales entonces no es un cuadrado''.




Elaboremos una tabla de verdad para comparar MATH y su contrarecíproca: MATH


MATH

¿Observas alguna relación entre $p\Rightarrow q$ con respecto a MATH?

De la tabla anterior se concluye que MATH es equivalente en todos los casos con MATH

Elabora una tabla en la que compares MATH con su recíproca.

¿Qué discrepancia existe en este caso?




MÉTODOS DE INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA.

El investigador en ciencias se basa en métodos técnicos y lógicos para verificar sus conclusiones y concluir algunos (o muchos) resultados o leyes que rigen a determinada ciencia.

  1. Métodos técnicos: entendemos por estos, los utilizados al observar y experimentar, los podemos llamar también métodos empíricos.

  2. Métodos Lógicos: Son aquellos que nos permiten hacer deducciones estableciendo raciocinios lógicos, admisibles y demostrables.

Dentro de los métodos lógicos se encuentran el razonamiento inductivo y deductivo.

Ante la construcción de nuevas teorías (o replanteamiento de las mismas), especialmente en matemáticas suele ocurrir lo siguiente:

  1. Se establecen algunas definiciones. Por ejemplo, ¿Qué es un triángulo?, se puede afirmar que un triangulo es ``el poligono de tres lados incluidos todos los puntos que se encuentran dentro de él'' o que el triángulo es ``el poligono de tres lados sin incluir los puntos que encierran sus lados''. Nos ponemos de acuerdo en su significado.

  2. Se establecen los axiomas (postulados). Los axiomas o también llamados postulados son proposiciones que asumimos como verdades aceptandolos sin demostración alguna.

  3. Se deducen proposiciones (Teoremas) a partir de las definiciones, los axiomas y los postulados. A las proposiciones nuevas que se puedan verificar mediante el empleo de la lógica, se suelen llamar teoremas y decimos que son demostrables. Cuando se habla de demostraciones, suelen aparecer adicionalmente los lemas (proposiciones que se deducen a partir de un teorema), los corolarios (proposiciones que se deducen a partir de un lema) y las conjeturas (proposiciones que aparentemente son verdaderas pero no se han podido demostrar).

MÉTODOS PARA DEMOSTRAR O REFUTAR.

DEMOSTRACIÓN DIRECTA.

Este tipo de demostración suele estár asociado con la implicación $p\Rightarrow q$ para el caso decimos que $p$ es la hipótesis y si partiendo de ella logramos mediante razonamientos lógicos deducir la tesis $q$ decimos que hemos realizado la demostración.

Ejemplo

``La suma de dos números pares es un número par''.

Demostración. Sean $x,y$ números pares, entonces existe $a,b$ números enteros tales que

$x=2a\wedge y=2b$, luego
$x+y=2a+2b,$
$x+y=2(a+b),$ propiedad recolectiva (factorización).

Como $\left( a+b\right) $ es un número entero entonces se tiene que $\left( x+y\right) $ es número par (al dividir $x+y$ en 2 da como resultado un número entero, para el caso sería $a+b$).

Ejemplo

Cualesquier real multiplicado por cero es igual a cero.

Demostración. Sea $a$ un número real.

$a\cdot0$ $=$ $a\cdot0$ reflexividad
MATH $=$ $a\cdot0$ modulativa y 0+0=0
$a\cdot0+a\cdot0$ $=$ $a\cdot0$ distributiva de la adición
MATH $=$ MATH sumar MATH en ambos lados
MATH $=$ $0$ asociativa en +
$a\cdot0+0$ $=$ $0$ adición con el inverso
$a\cdot0$ $=$ $0$ Modulativa en +

DEMOSTRACIÓN INDIRECTA (MÉTODO DE REDUCCIÓN AL ABSURDO).

Demostrar que $p$ es válida, es equivalente a demostrar que $\sim p$ no es válida (si se cumple $p$, lo contrario no se debe cumplir).

El método de reducción al absurdo consiste en suponer que la contraria se cumple y mediante
procedimientos lógicos llegar a una contradicción con ideas fundamentales, es decir $\sim p$ es algo falso, luego $p$ debe ser verdad.

Ejemplo

Demostremos por reducción al absurdo que ``no existe un número primo que sea el mayor de todos''.

Demostración:

Negando la tesis diríamos que ``existe un número primo que es el mayor de todos los números primos''. Esto equivale a decir que:

``Existe un numero primo $n$ que es el mayor de todos los números primos''

Si hacemos el producto

MATH La multiplicación de varios factores es mayor que uno de ellos (en $\QTR{Bbb}{Z}^{+}$).
MATH Si se adiciona una unidad en el lado izquierdo, la desigualdad permanece.
MATH No es divisible por ninguno de los primos menores o iguales a $n$ (sobraría 1),
y de aquí se deducen dos situaciones:
Si MATH es primo, contradicción con la negación de la tesis,
$\vee $
MATH es divisible por algún número primo más grande que $n$ (Contradicción).

DEMOSTRACIÓN POR CONTRARECÍPROCA.

En lugar de demostrar la implicación $p\Rightarrow q$, simplemente, demostramos una proposición lógicamente equivalente que es MATH

Recuerda que MATH

Ejemplo

``En el conjunto de los naturales, si el cuadrado de un número natural es impar entonces el número es impar''.

Demostración. La contrarecíproca de esta esta proposición es:

Si un número es par entonces su cuadrado es par.

(Recuerda que en el conjunto de los naturales, la negación de ser par es equivalente a ser impar).

Sea $x$ un número natural par entonces existe un $r$ que pertenece a los naturales tal que:
MATH

Luego MATH es un número par.

Este método es muy parecido a la demostración directa, solo hay que tener en cuenta la equivalencia siguiente MATH

REFUTACIÓN POR CONTRAEJEMPLO.

Si usted encuentra una situación para la cual la proposición $p$ no se cumple, se dice que esa proposición es falsa y puede ser refutada con un contraejemplo.

Ejemplo

Si $n$ es un entero positivo, $2^{2n}-1$ es un número primo.
Aunque la situación cumple en algunos casos, si hacemos $n=2$ tenemos que la proposición no cumple porque MATH y este no es un número primo.




Ejemplo

Sean $a,b$ números reales, $(a+b)$ $\neq $ MATH
Esta proposición es falsa porque si $a=1$ y $b=0$ la igualdad se cumple. El enunciado propone diferencia sin discriminación alguna en $\QTR{Bbb}{R}$.




EL MÉTODO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA.

Supongamos que me da por pensar en el conjunto de los números pares (números de la forma $2n$ con $n$ MATH). Además, realizo la siguiente observación:

MATH

Como realicé varios ensayos empezando desde el primer numero par, y los siguientes pares que tomaba siempre eran menores que 100, puedo concluir que cualquier número par es menor que 100.

¿Cuál es el error en mi apreciación?

¿Basta con que varios ejemplos verifiquen una proposición para afirmar que se trata de una verdad?, explique.

El que una proposición cumpla en varias y repetidas ocasiones no indica que se vaya a cumplir siempre. Cuando la proposición está ligada al conjunto de los enteros positivos surge el principio de inducción que se expondrá a continuación.

PRINCIPIO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA.

Sea $S_{n}$ una afirmación para todo entero positivo $n$, observemos las dos condiciones siguientes:

(1)

$S_{1}$ es cierta.

(2)

Sea MATHsi $S_{k}$ es cierta entonces $S_{k+1}$ es cierta.

De (1) y (2) se puede concluir (se implica) que $S_{n}$ es cierta (verdadera) para cualesquier entero positivo $n$.




Nota: demostrar (1) y (2) es equivalente a demostrar que $S_{n}$ cumple para cualquier entero positivo $n$.

Observece además que (2) es una expresión de la forma $p\Rightarrow q $. En (2) no demostramos $S_{k}$, lo que hacemos es partiendo de que se supone $S_{k}$ cierta, llegar a que $S_{k+1}$ es cierta.




Recomendaciones para demostrar por Inducción:

Primero. Verifique que $S_{1}$ sea verdadera (que cumple para la primera situación).

Segundo. Establesca la hipótesis $S_{k}$. (Suponemos que cumple para algún MATH

Tercero. Establezca la tesis $S_{k+1}$ (¿A qué debo llegar?).

Cuarto. Pruebe que ``si $S_{k}$ cumple para algún $n=k,$ entonces, $S_{k+1}$también cumple''.




En algunos libros, solo se habla de dos pasos, en realidad la segunda y tercera actividad la escribimos por denotar la hipótesis y la tesis de la otra demostración solapada de la forma MATH




Ejemplo

Demostrar por Inducción matemática que MATH

  1. Verifiquemos que cumpla para $n=1$, (sólo se sumaría un término).
    $S_{1}$: MATH cumple.

  2. Suponiendose que cumpla para MATH mostrar que cumple para el siguiente, es decir:

  3. Llegar a que MATH se cumpla. Notemos que el siguiente número impar después de $(2k-1)$ es $(2(k+1)-1=(2k+1).$
    Luego MATH
    La prueba que vamos a realizar consiste en partir de la suposición dada en el paso 2 (hipótesis de que $S_{k}$ cumple para algún MATH, llegar a la que cumpla para el siguiente (tesis expresada en el paso 3).

  4. Prueba:
    MATH




Ejemplo

Demostrar que $2n<2^{n}$ siendo MATH

  1. Si $n=3$ tendríamos $2\cdot 3<2^{3},.$ Luego cumple. No verificamos para $n=1,\,2,$ por que se excluyen mediante la afirmación $n>2.$

  2. Suponemos que cumpla para algún $n=k$
    MATH

  3. Debemos llegar a que para $n=k+1$ también cumpla
    MATH

  4. Prueba (MATH

    MATH

Ejemplo

Si $n$ es entero impar mayor o igual a tres se cumple que:
MATH

Demostración: Como $n$ es impar mayor que tres, digamos que MATH Recuerda, los impares mayores o iguales que tres son $3,5,7,9$,MATH con MATH Luego, realizando el cambio de variable, tenemos que demostrar que:
MATH

  1. Por inducción matemática, para $m=1$ tendríamos,
    MATH

    Si se desarrolla el producto indicado en la parte izquierda, se muestra que dicha igualdad cumple.

    Nos falta mostrar que si cumple para algún $m=k$, entonces cumple para $m=k+1$.

  2. Supongamos que cumple para algún MATH
    MATH

  3. Debemos mostrar que cumple para $m=k+1:$
    MATH

    MATH

    Prueba

  4. Partimos de la hipótesis de que cumple para algún $m=k$ y restando $y^{2k+1}$ en ambos lados tendríamos:

    $x^{2k+1}$ $=$ MATH
    $x^{2k+3}$ $=$ MATH
    $x^{2k+3}$ $=$ MATH
    $x^{2k+3}$ $=$ MATH
    $x^{2k+3}$ $=$ MATH
    $x^{2k+3}+y^{2k+3}$ $=$ MATH

    Pero, como
    MATH

    podemos afirmar que

    $x^{2k+3}+y^{2k+3}$ $=$ MATH
    MATH
    $x^{2k+3}+y^{2k+3}$ $=$ MATH
    $x^{2k+3}+y^{2k+3}$ $=$ MATH

    Quedando de este modo demostrado.

Ejemplo

$2^{2n}+5$ es divisible entre $3$. (Se supone MATH).

  1. Para $n=1$ tedríamos
    MATH

  2. Suponemos que se cumple para $n=k$
    MATH

  3. Debemos mostrar que cumpla para $n=k+1$
    MATH

  4. Prueba MATH.
    MATH
    Aquí ya se tiene que MATH es divisible en $3$.




Demostrar utilizando inducción matemática

  1. MATH

  2. $n+n^{2}$ es par.

  3. MATH

  4. MATH

  5. MATH

  6. MATH

  7. $n^{3}-n$ es divisible entre $6.$

  8. MATH

  9. MATH con $i^{2}=-1.$

  10. MATH

  11. MATH con $x\neq 2k\pi .$

  12. $2^{n}<n!$ para $n=4,5,6,...$ donde MATH

  13. $2n\cdot n!<n^{n}$, si $n>2.$

  14. MATH

  15. MATH

  16. MATH

  17. MATH

  18. MATH

  19. MATH

  20. MATH

  21. * $n^{3}-n$ es divisible entre $6.$

  22. * $x^{n}-1$ es divisible entre $x-1.$

  23. * $x^{n}-y^{n}$ es divisible entre $x-y.$

  24. $2^{n}\geq 2n.$

  25. MATH

  26. MATH siendo $n$ un entero positivo impar.

  27. MATH es divisible en 24 si $n$ es impar.

  28. Demuestre que si MATH los siguientes cocientes corresponden a números enteros.

    1. MATH (b) MATH

  29. $2^{4n-1}$ es divisible por 15.

  30. Sean MATH un conjunto cualquiera de números.

    Si MATH y MATH prúebe que MATH

  31. Si se tiene un número real $p\geq 1$ y $n$ MATH, $n\geq 4$. Pruébese que MATH

  32. MATH para todo entero positivo $n.$

  33. MATH

  34. MATH

  35. Fórmulas.

    1. Realizar los siguientes cálculos
      MATH

    2. Escribe una fórmula para calcular la siguiente suma
      MATH

    3. Demostrar la fórmula del punto (b).

  36. Escríbe una fórmula para la siguiente suma
    MATH