LOS NÚMEROS COMPLEJOS

¿Imaginámos la realidad?

¿Cómo distinguir entre lo real y lo imaginario? La realidad de mi abuela es que sus ojos ven de forma muy concreta el abuelo muerto años atrás. Lo que para mi es algo imaginario (trampita de la mente) para ella es realidad.

¿Cuántos nos hemos levantado sudando o llorando después de un mal sueño? El sueño en ese instante era una realidad... Asumiendo como realidad lo que la mente acepta como tal, nos atrevemos a afirmar que los números imaginarios no son tan imaginarios, son entidades concretas que nuestra mente puede ver, tocar y manipular. Los números ``complejos'' no son tan complejos o tan imaginarios como lo indica su nombre, mas aún, son tan concretos que gracias a ellos hasta un viejo computador 286 puede pintar fractales tan hermosos como el de Mandelbrot

 

Ampliando el conjunto numérico

Ante el problema de solucionar ecuaciones de la forma $ax^{2}+bx+c=0$ con MATH se encontraron situaciones en las cuales el conjunto de los Números Reales no era suficiente, por ejemplo :

Si MATH Esta ecuación no tiene solución en $\QTR{Bbb}{R}$, ya que $x=\sqrt{-1}$ MATH

Sea $n$ un entero no negativo ; $\root{2n} \of{a}$ es es un número real si y sólo sí $a$ $\geq 0$

No pudiéndose satisfacer algunas ecuaciones en $\QTR{Bbb}{R}$, nos vimos en la necesidad de ampliar el conjunto numérico, llegando hasta los mal llamados números complejos (son muy sencillos).

Definición

Asumimos que $i$ es el número que elevado al cuadrado es igual a $-1$. Nos referiremos a $i$ como la unidad imaginaria, MATH y diremos que si $b$ es un número real; entonces $bi$ es un número imaginario.

Bajo la idea anterior, y siguiendo las leyes comunes de la potenciación podemos afirmar que:


MATH

También podemos afirmar que:
MATH

Actividad 1.

  1. Hallar las soluciones de cada una de las siguientes ecuaciones:

    1. $x^{2}+9=0$

    2. $x^{2}-x+17=0$

    3. $x^{2}-x-2=0$

    4. $2x^{2}-18=0$

    5. $-x^{2}-9=0$

    6. $x^{4}-2x^{2}-3=0$

  2. ¿Son las soluciones halladas números reales?

  3. Representa gráficamente cada una de las funciones cuadráticas asociadas con el primer punto.

    1. $y=x^{2}+9$

    2. $y=x^{2}-x+17$

    3. $y=x^{2}-x-2$

    4. $y=2x^{2}-18$

    5. $y=-x^{2}-9$

    6. $y=x^{4}-2x^{2}-3$

  4. Cuando las raíces de la ecuación cuadrática no son números reales, ¿la gráfica de la función cuadrática correspondiente interseca al eje $x$? ¿Por qué?

  5. ¿Hay alguna relación entre los cortes con el eje $x$ y las raices? ¿Qué ocurre cuando la ecuación asociada tiene soluciones reales?

  6. ¿La solución de la ecuación $x^{2}+1=0$ es un número real? Justificar.

  7. Verifica que $i,-i,1$ y $-1$ son raíces de la ecuación $x^{4}-1=0.$

Definición

Un número de la forma $\QTR{bf}{a+bi}$, con $a$ y $b$ números reales, e $i=\sqrt{-1}$, lo llamaremos número complejo; $a$ se llama parte real y $b,$ parte imaginaria.
MATH

Ejemplos:

  1. $z=3-2i$ es un número complejo.

  2. $w=-5$ es un número complejo, ya que se puede escribir como $-5+0i.$

  3. $\alpha =2i$ es un número complejo, ya que se puede escribir como $2i=0+2i.$

Definición

Dos complejos son iguales si sus componentes son iguales. Sea MATH tal que $z=a_{1}+b_{1}i$ y $w=a_{2}+b_{2}i$ ; $z=w$ si y sólo sí $a_{1}=a_{2}$ y $b_{1}=b_{2}.$

Actividad 2.

  1. ¿Son los números reales también números complejos?

  2. ¿Son los números de la forma $bi$ números complejos?

  3. Si $z=x+2yi$ y MATH Encontrar los valores de los números reales $x$ y $y$ para los cuales se satisface $z=w.$

Definición

Las operaciones de adición y multiplicación en complejos se realizan de manera idéntica a las de polinomios.

Sean $z=a_{1}+b_{1}i$ y $w=a_{2}+b_{2}i\ $dos números complejos (MATH, se define:
MATH
Nótese que ``el menos'' en el producto resulta porque $i^{2}=-1.$

Ejemplo: Si $z=-3+5i$ y $w=4+2i,$ entonces

  1. $z+w=1+7i$

  2. MATH

Propiedades de las operaciones en $\QTR{Bbb}{C}$

Sean MATH $w=a_{2}+b_{2}i$ y MATH números complejos, entonces

  1. MATH y como MATH y MATH tenemos que $z+w$ es un número complejo. (Clausura de la adición en $\QTR{Bbb}{C}$).

  2. MATH MATH Luego $z+w=w+z.$ (Conmutativa de la adición en $\QTR{Bbb}{C}$).


  3. MATH

  4. MATH MATH tal que $z+0=z.$ (Existencia del módulo para +).

    Como $0=0+0i$ entonces $0\in C$ y MATH

  5. MATH MATH tal que MATH. (Existencia del inverso aditivo).

    Sea $a+bi$ un complejo conocido y $x+yi$ un número complejo tal que
    MATH
    Para que sean iguales, se debe cumplir que MATH y MATH Estas dos ecuaciones están en $\QTR{Bbb}{R}$ y tienen como única solución $x=-a$ y $y=-b,$ luego el opuesto aditivo de $z=a+bi$ lo podemos simbolizar como $-z=-a-bi$.$\ \blacksquare $

  6. Supongamos que $z=x+yi$ con $x,y$ números reales. En particular, si $z\not=0$ se tiene que MATH llevándonos a pensar que MATH Faltaría ver si en verdad $\frac{1}{z}$ que lo podemos llamar $z^{-1}$ es un número complejo.
    MATH
    De este modo el inverso multiplicativo de $z\not=0$ lo denotaremos como $z^{-1}$ y de lo anterior ya sabemos cómo encontrarlo una vez conocido $z. $

    Se deja al lector el estudio y demostración de las propiedades para el producto.

.

Actividad 3.

  1. Si $z=2+3i$, $w=5-2i$ $u=-3-2i$ calcular:

    1. $z+w$

    2. $w+u$

    3. $z\cdot w$

    4. $u\cdot w$

    5. MATH

    6. $uw+uz$

  2. Determinar el ó los valores de $u\in \QTR{Bbb}{C}$ para los cuales se satisface que $u\cdot u=-u.$

  3. Exprese $2i^{-3}$ como producto de un número real por $i.$

  4. Calcular MATH

  5. Verificar que las soluciones de $x^{3}=1$, son MATH

  6. Resta y cociente de números complejos. Si entendemos
    MATH
    Calcular:

    1. MATH

    2. MATH

    3. $\dfrac{2+i}{3+4i}$

    4. $\dfrac{7-3i}{2i}$

    5. Dividir $5+7i$ en $3.$ .

El plano Complejo

complejos__140.png
{}

Para el caso si $z=a+bi,$ la coordenada real de $z$ es $a$ y la coordenada imaginaria para $z$ decimos que es $b.$

Definición

Sean $a,b$ números reales, $z=a+bi$ si y sólo sí MATH Asumimos que la parte real de $z$ es MATH y que la parte imaginaria de $z$ es MATH Además, si un complejo está expresado como $z=a+bi$ $\vee $ MATH decimos que está escrito en su forma cartesiana.

Ejemplo. Si $w=-3+5i,$ entonces MATH, MATH $\wedge $ MATH

Notemos que para cada punto del plano corresponde un número complejo y viceversa. Podemos entender el conjunto de los complejos como el conjunto de puntos en el plano (o de vectores) con la adición y multiplicación definida de la siguiente forma:

Definición

Adición y multiplicación de complejos.

Sean los complejos MATH y MATH se define:
MATH

¿Está de acuerdo con la definición anterior? Compare la definición anterior con la definición MATH. ¿Explique?

Ejemplos.

  1. Si MATH y MATH entonces, MATH MATH y

    MATH implicando MATH

  2. Si MATH y MATH entonces, MATH y MATH

Actividad 4.

  1. Si MATH y $v=-3+2i$ calcula $u+v$, $u\cdot v$, $v\cdot u$, $v^{2},$ y realiza una representación gráfica de $u+v.$

  2. Para MATH y MATH

    1. Realiza la representación en el plano complejo para $u$ y $v.$

    2. Determina la medida del segmento que une al punto $\left( 0,0\right) $ con el punto MATH

    3. Encuentra el ángulo formado entre dicho segmento y el eje positivo horizontal.

    4. Determina la medida del segmento que une al punto $\left( 0,0\right) $ con el punto MATH

    5. Estima el ángulo formado entre dicho segmento y el eje positivo horizontal.

Al hablar de vectores es común que aparezcan las palabras ``magnitud, dirección y sentido''. La magnitud corresponde a la medida del segmento dirigido (por ejemplo, el que semarcó con azul en el gráfico). La dirección o argumento del complejo (vector) corresponde a la medida del ángulo respecto al eje positivo horizontal (eje real). ¿ A qué corresponde el sentido?

complejos__190.png

Definición

Sea MATH decimos que la magnitud de $z$ es MATH y que el argumento de $z$ es MATH donde $\theta $ es el ángulo medido respecto al eje positivo real.

Actividad 5.

  1. Representar en un plano cartesiano los siguientes números complejos:

    1. MATH

    2. MATH

    3. MATH

  2. Determinar la magnitud y dirección para cada uno de los complejos del punto anterior.

  3. Si al segmento dirigido $\left( 0,1\right) $ lo rotamos $\frac{\pi }{2}$ (en sentido positivo y con centro en el punto $\left( 0,0\right) $) tendríamos como imagen el segmento dirigido MATH Este proceso lo denotaremos como MATH Bajo esta idea determinar

    1. MATH

    2. MATH

    3. MATH

    4. MATH

    5. MATH

    6. MATH

  4. ¿Cuál es la relación entre MATH y $-a-bi$?

  5. Si MATH y su argumento es MATH, escribir $z$ como un complejo de la forma $a+bi$.

  6. Escribir un vector $\left( a,b\right) $ cuya magnitud sea igual a 1 y que tenga la misma dirección del complejo MATH

Definición

Decimos que el conjugado de $z=a+bi$ es $\overline{z}=a-bi.$

Teorema

MATH

Demostración. Si MATH




Ejemplos.

  1. Si $w=2-4i$ entonces $\overline{w}=2+4i.$

  2. Si $\alpha =-3+5i$ entonces MATH

  3. Si $z=3$ entonces $\overline{z}=3.$

    Teniendo en cuenta los tres ejemplos anteriores

  4. MATH

  5. MATH

  6. MATH (Propiedad conmutativa).

Teorema

Si $z,w$ son números complejos entonces MATH.

complejos__235.png

Demostración. Desarrollando el cuadrado del binomio MATH
MATH
y según el teorema del coseno
MATH
de las dos últimas se deduce
MATH

Actividad 6.

1. ¿Bajo qué condiciones se cumple que un complejo es igual a su conjugado?

2. ¿Cuál es la relación entre arg(z) y $arg(\bar{z}) $

3. Si $\ \theta =$arg$\left( z\right) ,$ ¿A qué equivale MATH

4. Calcular MATH, $w^{3},w^{4}$ sabiendo que $w=2-4i$

Otras representaciones

Si tomamos un complejo MATH observando la representación en el plano podemos concluir que $a=r\cos \theta $ $\wedge $ MATH siendo MATH Luego:
MATH

Observece que dada la magnitud de un complejo y su argumento podemos escribirlo de la forma $a+bi.$

Teorema (Teorema de Moivre )

MATH.

La demostración del teorema anterior se realizó por inducción matemática siendo $n$ un entero positivo y $r$ un número real. Reduciremos la idea asumiendo $r$ como la magnitud de un número complejo, de este modo, dicho teorema nos será de utilidad para determinar potencias $n$-ésimas.

Ejemplo.

  1. Calcular $z^{5}$ si MATH Determinando el argumento de $z$ y su magnitud podemos afirmar que MATH entonces
    MATH

Definición

Se dice que $z=re^{\theta i}$ es la representación polar de un complejo $z$ para el cual MATH MATH.

Según la definición anterior podemos pensar que MATH y si aplicando las propiedades de la potenciación obtenemos MATH. Compara el teorema de Moivre con la expresión para la potencia $n$-ésima de $z.$ ¿Qué puedes concluir?

Observa que MATH

Actividad 7.

  1. Escribir en la forma polar cada uno de los siguientes números complejos

    1. MATH

    2. MATH

    3. MATH

  2. Calcular $z^{-1},z^{2},z^{5}$ si

    1. MATH

    2. MATH

    3. MATH

    4. $z=e^{20\pi i}$

  3. Calcular $z\cdot w$, $z/w$ expresando el resultado en la forma polar.

    1. MATH y MATH

    2. $z=3$ y MATH

    3. $z=i$ y MATH

    4. MATH y MATH

  4. Analice cada una de las siguientes igualdades y establezca si son verdaderas o falsas. Justificar.

    1. MATH $\wedge $ MATH

    2. Siendo $w\not=0$ entonces MATH $\ \wedge $ MATH

    3. MATH

  5. Escribir un contraejemplo para la parte (c) del ejercicio anterior.

  6. Escribir $e^{20\pi i}$ en la forma cartesiana.

  7. ¿Será verdad que MATH ?

  8. ¿Será verdad que MATH siendo $k=0,1,2,3,4,...?$

  9. Si $z=3e^{\theta i}$ y MATH, calcular los valores de $r$ y de $\theta $ para los cuales se cumple que $z=w.$

  10. Sabiendo que MATH, MATH y $z=w$, escribir el complejo $z$ en la forma polar y en la forma cartesiana.

La raíz de un número complejo.

Supongamos que queremos encontrar los complejos cuya $n-$ésima potencia ($n\in Z^{+}$) sea igual a un complejo $z$. En particular, $z$ puede representarse como $z=re^{\theta i}$ que equivale a MATH siendo $k=0,1,2,3,...$ Nuestro problema equivale a encontrar las raíces $n-$ésimas de $z$. Supongamos que $w=r_{o}e^{\mu i}$ es el complejo que da solución a nuestro problema ($r_{0}$ es un real no negativo). Entonces
MATH
y para que la igualdad se cumpla se debe tener que

  1. $r_{0}^{n}=r$ lo que implica MATH

  2. $n\mu =$implicando MATH con $k=0,1,2,3...$

Ejemplo 1.

Encontrar $\root{3} \of{i}.$ Este problema equivale a encontrar los complejos que elevados al cubo sean iguales a MATH siendo $k=0,1,2,...$

Teniendo en cuenta la propuesta anterior tendríamos que la magnitud de dicho complejo es $r_{0}=1$ porque MATH.

  1. Para $k=0$ entonces MATH lo que implica la primera solución MATH

  2. Para $k=1,$ MATH entonces MATH

  3. Para $k=2,$ MATH entonces MATH

    Observa que MATH y que el cubo de cualquiera de los tres es igual a $i.$

    Se deja al lector el verificar que para $k=3$ se obtiene el mismo recultado que cuando $k=0$ y para $k=4$ se llega al mismo complejo que cuando $k=1$ y así sucesivamente.

Actividad 8.

  1. Escribir los siguientes complejos en la forma cartesiana:

    1. MATH

    2. MATH

    3. MATH

  2. Realizar una representación de los complejos del punto anterior en un mismo plano.

  3. Calcular la tercera potencia para cada uno de los complejos mencionados en el primer punto.

  4. Calcular y expresar en la forma cartesiana:

    1. $\root{2} \of{i}.$

    2. $\sqrt{i+1}.$

    3. El complejo cuyo cubo es igual a MATH

    4. El complejo cuyo cuadrado es igual a MATH

  5. Averigua las propiedades de los espacios vectoriales y determina si el conjunto de los complejos es o no un espacio vectorial.

  6. ¿Cómo se realiza la suma de vectores de manera gráfica?

  7. ¿Cómo se realiza el producto de complejos de manera gráfica?

 Álgebra Superior 

Marcos Alejo Sandoval Serrano